跟我学：小学奥数中 楼梯上的数学应用题
上楼下楼的过程中, 也蕴藏着许多数学问题, 今天我们就来学习楼梯中的数 学, 日常生活中与爬楼梯类似的问题还有 锯木头的段数问题 , 敲钟遇到的时间问 题 等,都是比较特殊的问题。
1、爬楼梯遇到的层次问题,主要明白 几楼 与 几层楼梯 是不同的,从底楼起,楼 数比楼梯层数多 1。
即:楼数 =楼梯层数+1 楼梯层数 =楼数-1
2、锯木头的段数问题,主要明白锯成木头的 段数 比锯木头的次数多 1。
即:段数 =次数+1 次数 =段数-1
3、敲钟遇到的时间问题,主要明白敲的 次数 比钟声之间的 间隔 多 1。
即:次数 =间隔数+1 间隔数 =次数-1
解决这类应用题, 先要考虑以上提到的这些差别, 再选择恰当的解题方法。
例 1、
小明家住在六楼,小华家住在四楼,每层楼之间楼梯的级数都相同。小华回家要走 48级楼 梯,小明回家要走多少级楼梯?
【解析】由于一楼不必走楼梯,所以小华回家只走 4-1=3(层) 楼梯。根据小华回家要走 48级楼梯,可知 每一层楼梯级数为 48÷3=16 (级)。小明家住在六楼,他只需走 6-1=5(层)楼梯,所以小明回家要 走 16×5=80(级)楼梯。
例 2:
甲、乙两人比赛爬楼梯,甲跑到 4层时,乙恰好跑到 6层,如果两人跑楼梯的速度保持不变,那 么
当甲跑到 10层时,乙跑到了几层?
【解析】从条件可知道, 甲跑 3层楼梯的时间, 乙可跑 5层楼梯, 那么甲跑到 10层楼时, 甲跑了 10-1=9 (层)楼梯,乙可跑 5×(9÷3) =15(层)楼梯,所以这时乙已跑到了 15+1=16(层)。
例 3:
商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子嫌扶梯走的太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每 秒钟向上走 2梯级,女孩每 2秒钟向上走 3梯级。结果男孩用 40秒钟到达,女孩用 50秒钟到达楼 上。问当该扶梯静止时,扶梯可看到的梯级共有多少级?
两个孩子从下走到上,他们各自走过的梯级加上自动扶梯在他们各自需要的时间内上升的梯级数都等于扶梯的长度。
【解析】设每秒钟自动扶梯上升 a 级,那么扶梯的长度等于男孩在 40秒钟走过的(40×2=) 80级加上自 动扶梯上升的 40a 级,也等于女孩 50秒钟走过的(50÷2×3=) 75级加上自动扶梯上升的 50a 级。所以有下面等式:
40×2+40a=50÷2×3+50a 。解得
a=0.5。
所以当扶梯静止时,扶梯可看见的梯级共有 40×2+40a=80+40×0.5=100级。
例 4:
商场自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子在行驶的扶梯上下走动,女孩由下往上走,男孩由 上往下走。结果女孩走了 40级到达楼上,男孩走了 80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的楼梯级数 是女孩的 2倍。问当时扶梯静止时,扶梯可看到的梯级共有多少级?
【解析】两个孩子走楼梯的方向不同,这样增加了解题的难度。但是从条件中可知,男孩走楼梯的速度是 女孩的 2倍,男孩走了 80级正好是女孩走了 40级的 2倍,这样两人走完此楼梯的时间相同。
设两人在这相同的时间内自动扶梯上升 a 级, 那么扶梯的长度等于男孩在这段时间走的 80级减去 自动扶梯上升的 a 级,也等于女孩在这段相同的时间内走的 40级加上自动扶梯上升的 a 级,所以 有下面等式:
80-a=40+a 。解得a=20。
所以当扶梯静止时,扶梯可看见的梯级共有 40+a=40+20=60(级)。
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